
\prob{0067}{无相异两实根}

若关于$x$的方程

\[ x^2 + 2(a + 2b + 3)x + (a + 4b^2 + 99) = 0 \]

无相异两实根（$\Delta \le0$），求满足条件的有序正整数对$(a, b)$的个数。
\problabels{yellow/数论, green/方程相关问题}

\ans{$12$个}

\subsection{枚举}

基本思路：由$\Delta \le0$枚举$a$求出$b$。

由$\Delta \le0$知

\begin{align*}
  4(a + 2b + 3)^2 - 4(a + 4b^2 + 99) \le0 \\
  a^2 + 4ab + 5a + 12b \le90 \\
\end{align*}

枚举$a$（表~\ref{tab:0067-enum}），可得$(a, b)$共$5 + 3 + 2 + 1 + 1 = 12$个。

\begin{table}[hbp]
  \centering
  \begin{tabular}{cclc}
    \toprule
    $a$ & $b$的条件 & $b$ & 个数 \\
    \midrule
    $1$ & $16b \le84$ & $\in \{1, \dots, 5\}$ & 5 \\
    $2$ & $20b \le76$ & $\in \{1, 2, 3\}$ & 3 \\
    $3$ & $24b \le66$ & $\in \{1, 2\}$ & 2 \\
    $4$ & $28b \le54$ & $= 1$ & 1 \\
    $5$ & $32b \le40$ & $= 1$ & 1 \\
    $6$ & $36a \le24$ & 无解 & 0 \\
    $> 6$ & & 无解 & 0 \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
  \caption{枚举$a$，以求出$b$。} \label{tab:0067-enum}
\end{table}
